2.5.5. Метод Фурье для уравнений свободных колебаний струны
Метод Фурье, или метод разделения переменных является одним из
наиболее распространенных методов решений уравнений с частными
производными. Метод разделения переменных применим не всегда, но в
тех случаях, когда им можно воспользоваться, является эффективным. С
его помощью можно расщепить уравнение с частными производными для
функции
n
независимых переменных на
n
обыкновенных
дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию
u
ищут в
виде произведения
1 2 1 1 2 2
, ,..., ... .
n n n
u x x x f x f x f x
При таком
расщеплении исходного уравнения возникает
1n
произвольных
параметров, которые называют постоянными разделения. Возможные
значения этих параметров определяются особенностями задачи и
физическим смыслом искомой функции. Изучим суть данного метода на
конкретных примерах.
Рассмотрим задачу о колебаниях ограниченной струны с
закрепленными концами.
Найти решение
,u u x t
уравнения
22
2
22
uu
a
tx
(2.37)
при граничных условиях
0
, 0,
x
u x t
,0
xl
u x t
(2.38)
и начальных условиях
0
,,
t
u x t x
0
,
t
u
x
t
(2.39)
где
x
и
x
– заданные функции, определенные на отрезке
0, .l
Будем искать частные решения уравнения (2.37) методом разделения
переменных, т. е. в виде произведения «функции только от
x
на функцию
только от
t
»:
,.u x t X x T t
(2.40)
Подставляя (2.40) в уравнение (2.37), получим
2
T t X x a T t X x
или
2
.
T t X x
Xx
a T t
(2.41)
Левая часть последнего равенства зависит только от t, а правая –
только от x. Это равенство возможно лишь в том случае, если и левая и
правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. представляют собой одну и ту
же постоянную. Обозначим эту постоянную через
.
Тогда из равенства
(2.41) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
2
0,T t a T t
(2.42)
0.X x X x
(2.43)
Будем искать нетривиальные, т. е. не равные тождественно нулю,
решения вида (2.40), удовлетворяющие граничным условиям (2.38), откуда
получаем
0 0, 0.X X l
(2.44)
Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти такие
значения параметра
,
при которых уравнение (2.43) имеет нетривиальное
решение, удовлетворяющеее граничным условиям (2.44).
5А6 (Определение). Значения параметра
,
при которых существуют
нетривиальные решения краевой задачи (2.43), (2.44), называются
собственными значениями, а соответствующие решения – собственными
функциями этой краевой задачи.
Характеристическое уравнение для уравнения (2.43) имеет вид
2
0.r
Найдем теперь собственные значения и собственные функции
задачи (2.43), (2.44). Здесь нужно рассмотреть отдельно три случая, когда
0,
0
или
0.
При
0
общее решение уравнения (2.38) имеет вид
12
,
xx
X x C e C e
где
1
C
и
2
C
– произвольные постоянные. Удовлетворяя граничным
условиям (2.44), получим
1 2 1 2
0, 0.
ll
C C C e C e
Определитель этой однородной системы (относительно неизвестных
1
C
и
2
)C
11
0
ll
ll
ee
ee
отличен от нуля. Поэтому система имеет единственное нулевое решение
1
0,C
2
0.C
Следовательно,
0Xx
и нетривиальных решений нет.
При
0
общее решение уравнения (2.43) имеет следующий вид
12
.X x C C x
Граничные условия (2.44) дают
1 2 1 2
0 0, 0.C C C C l
Отсюда
1
0,C
2
0.C
Значит,
0Xx
и в этом случае нетривиальных решений
нет.
При
0
общее решение уравнения (2.43) имеет вид
12
cos sin .X x C x C x
Удовлетворяя граничным условиям (2.44), получаем
12
1 0 0,CC
12
cos sin 0.C l C l
Из первого уравнения следует
1
0,C
а из второго –
2
sin 0.Cl
Считаем
2
0,C
так как в противном случае
0.Xx
Поэтому
sin 0,l
т. е.
,,l k k Z
,.
k
kZ
l
Следовательно, нетривиальные
решения задачи (2.43), (2.44) возможны лишь при значениях
2
, 1, 2,3,...
k
k
k
l
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
sin
k
kx
Xx
l
,
определяемые с точностью до постоянного множителя. Индекс
k
обозначает решение, соответствующее данному значению параметра
.
k
Заметим, что положительные и отрицательные значения k, равные по
абсолютной величине, дают собственные значения
,
kk
а собственные
функции отличаются лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно
для k брать только целые положительные значения.
При
k
общее решение уравнения (2.42) имеет вид
cos sin
k k k
k at k at
T t a b
ll
,
где
k
a
и
k
b
– произвольные постоянные.
Таким образом, функции
, cos sin sin
k k k k k
k at k at k x
u x t X x T t a b
l l l
удовлетворяют уравнению (2.37) и граничным условиям (2.38) при любых
k
a
и
.
k
b
Каждая из функций
,
k
u x t
является решением уравнения (2.37),
удовлетворяющим условиям (2.38), и называется собственной функцией
этого уравнения, а колебания, описываемые ею, называются собственными
колебаниями. В силу линейности и однородности уравнения (2.37), любая
конечная сумма этих функций будет также решением. То же справедливо и
для ряда
1
, cos sin sin .
kk
k
k at k at k x
u x t a b
l l l
(2.45)
Предположим, что этот ряд равномерно сходится (Б+С), его сумма
является непрерывной функцией и ряд можно дважды почленно
дифференцировать по
x
и
.t
Поскольку каждое слагаемое в ряде (2.45)
удовлетворяет граничным условиям (2.38), то этим условиям будет
удовлетворять сумма ряда, т. е. функция
,.u x t
Отметим, что в
рассматриваемой задаче функция
,u x t
должна быть вещественной (так
как она выражает отклонение струны в точке
x
в момент времени
).t
Остается определить постоянные
k
a
и
k
b
так, чтобы удовлетворялись и
начальные условия (2.39).
Продифференцируем ряд (2.45) по
:t
1
sin cos sin .
kk
k
u k a k at k at k x
ab
t l l l l
(2.46)
Полагая в (2.45) и (2.46)
0t
и учитывая начальные условия (2.39),
имеем
11
sin , sin
kk
kk
k x k a k x
x a x b
l l l
. (2.47)
Формулы (2.47) представляют собой разложения заданных функций
x
и
x
в ряд Фурье по синусам в интервале
0, .l
Коэффициенты
разложений (2.47) вычисляются по известным формулам
00
22
sin , sin .
ll
kk
k x k x
a x dx b x dx
l l k a l
(2.48)
Таким образом, решение задачи (2.37) – (2.39) дается рядом (2.45), где
k
a
и
k
b
определяются формулами (2.48).
5А+Б+С7 (Теорема). Если функция
x
имеет на отрезке
0; l
непрерывную производную третьего порядка и удовлетворяет условиям
0 0,l
а функция
x
имеет на этом отрезке непрерывную
производную второго порядка и удовлетворяет условиям
0 0,l
то функция
,,u x t
определяемая рядом (2.45), имеет непрерывные
частные производные второго порядка и удовлетворяет уравнению (2.37), а
также граничным (2.38) и начальным (2.39) условиям. При этом возможно
почленное дифференцирование ряда (2.45) по
x
и
t
до двух раз
включительно, и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно при
0 xl
и любом
.t
Часто при описании различных явлений (в теории колебаний,
электромагнитных волн, переменных токов и т. д.) удобнее использовать
комплексную запись для решений соответствующих уравнений.
